Método matricial para estructuras plantilla - EXCEL

Todos solemos tener nuestras propias hojas de cálculo en Excel que nos facilitan los cálculos de nuestras estructuras. En este post os explicamos cómo puedes usar Excel para resolver estructuras mediante el método matricial de la rigidez. Y te lo explicamos con un ejemplo: con una hoja de cálculo de esfuerzos laterales en pilotes, con diferentes estratos y usando el método matricial.   

Si recordamos un poco de nuestras clases de análisis de estructuras, el método matricial de la rigidez consistía en asignar a la estructura de barras una matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de nodos de la estructura con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos mediante la siguiente ecuación:

A esta altura supongo que ya habréis caído en la cuenta que para usar este método es necesario que Excel multiplique e invierta matrices. Lo más seguro que os preguntéis:¿Puede Excel invertir o multiplicar matrices? La repuesta es un rotundo SÍ. Entiendo que es ahora cuando empezáis a salivar pensando en las cosas que se pueden hacer con este método. 

Obviamente, no vais a resolver cada estructura que os aparezca con este método en Excel. Para eso están los programas de cálculo matricial. Pero a veces, si la estructura es repetitiva y simple, cuesta más hacer el modelo y asignar lo valores en los programas matriciales que tener todo preparado en una hoja de cálculo.

Pero hablemos primero de cómo trabajar con matrices en Excel.

No es usual que la gente sepa que en el programa Excel se pueden multiplicar e invertir matrices. Veamoslo con un ejemplo. Pongamos que tenemos la siguiente matriz colocada en Excel:

Para definir una matriz en Excel tan solo tenemos que usar las filas y columnas como más nos convenga. En este caso, en B3:D5,  tenemos una matriz 3×3.

Si queremos invertir esta matriz tendremos que seleccionar 9 celdas de salida de datos formando igualmente una matriz de 3×3. Con ellas seleccionadas, escribiriremos el comando “=MINVERSA(“ y seleccionaremos la matriz que queremos invertir, que en este caso está  enB3:D5:

Y una vez escrito el comando, ¡ojo!, aquí viene el truco, hay que pulsarCTRL+SHIFT+RETORNO

Si todo lo hemos hecho bien tendremos el siguiente resultado:

Ahora si lo que queremos es multiplicar dos matrices, se procede de forma similar. Supongamos que queremos multiplicar las dos matrices anteriores. Seleccionamos unas nuevas celdas de salidas de datos de la operación, que en este caso también resulta ser una matriz de 3×3 y usamos el comando “=MMULT(“ seleccionado las dos matrices a multiplicar:

No nos olvidemos del CTRL+SHIFT+RETORNO y obtenemos:

Como es lógico, el resultado de esta operación es la matriz identidad.

Usemos todo esto para calcular esfuerzos laterales en pilotes.

Supongamos que a un pilote de longitud L que atraviesa n estratos, cada uno con un coeficiente de balasto horizontal Kn, se le aplican en cabeza una fuerza F y un momento M:

El modelo a considerar para utilizar el método matricial sería el siguiente:

Donde la rigidez de cada resorte, k’, viene dado en función del coeficiente de balasto del terreno, Kn, el diámetro del pilote, D, y el incremento de longitud, ΔL, de cada barra:

En este caso, como no vamos a utilizar los esfuerzos y cargas longitudinales del pilote, podemos simplificar  la matriz de rigidez de cada barra de 6×6 en una matriz más manejera de 4×4 tan solo quitando las filas y columnas que intervienen en el axil:

De esta manera, si os repasáis el método matricial, la matriz de rigidez K para el pilote es del tipo:

Siendo Ki,n la matriz elástica del resorte del nudo n en el estrado i:

Y ya solo tener en cuenta que si:

Entonces:

Y en este caso el vector de cargas es de la forma:

Es decir, nuestra hoja de cálculo debe calcular la matriz de rigidez K del pilote para luego invertirla y multiplicarla con el vector P. Como se que para entender esto es mejor una muestra, os dejo un fichero Excel con el ejemplo hecho para que le echéis un vistazo:

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DESCARGAR

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En esta hoja de cálculo podéis elegir la longitud y diámetro del pilote, los estratos que atraviesa con su módulo de balasto y dada la fuerza F y momento M, se calculan automáticamente los desplazamientos, momentos y cortantes en cada punto del pilote.

En la pestaña “aux” de la hoja, podéis ver como se monta la matriz de rigidez, se calcula su inversa y se multiplica por el vector de fuerzas para obtener los desplazamientos y esfuerzos en cada punto del pilote.

Espero que os haya gustado.

REFERENCIA